漸近線

垂直漸近線は、分母が 0 になり $y\to\pm\infty$ となる $x$ に現れます。$y=\frac{1}{(x-4)(x+2)}$ なら $x=4$ と $x=-2$ の2本です。

水平漸近線は $x\to\pm\infty$ での極限から求めます。$y=\frac{4x+5}{x-4}$ は分子と分母を $x$ で割ると $\frac{4+5/x}{1-4/x}\to 4$ なので $y=4$ です。

例題

1. 01垂直漸近線を全て挙げると？$\displaystyle y=\frac{1}{(x-4)(x+2)}$答え閉じる

   答え$\displaystyle x=4,\ -2$

   解き方

   1. 縦の漸近線は分母 $(x-4)(x+2)$ が 0 になる x。積が 0 になるのは、どちらかが 0 のとき
   2. $\displaystyle x-4 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 4$$\displaystyle x+2 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = -2$
2. 02水平漸近線は？$\displaystyle y=\frac{4x+5}{x-4}$答え閉じる

   答え$\displaystyle y=4$

   解き方

   1. 分子を「分母の倍数 + 余り」に分ける
   2. $\displaystyle 4x+5$$\displaystyle = 4(x-4)+21$
   3. だから
   4. $\displaystyle \frac{4x+5}{x-4}$$\displaystyle = 4+\frac{21}{x-4}$
   5. x を限りなく大きくすると右の分数は 0 に近づき、$4$ だけが残る
3. 03斜め漸近線は？$\displaystyle y=\frac{x^{2}+3}{x} = x+\frac{3}{x}$答え閉じる

   答え$\displaystyle y=x$
4. 04縦向きの漸近線は、どんな x のところに現れる？$\displaystyle$A$\displaystyle 分母が 0 になる x$B$\displaystyle x=0$C$\displaystyle 導関数が 0 になる x$D$\displaystyle 分子が 0 になる x$答え閉じる

   答え$\displaystyle 分母が 0 になる x$

   解き方

   1. 分母が 0 に近いほど、分数の値は限りなく大きくなる
   2. $\displaystyle \frac{1}{0.001}$$\displaystyle = 1000$
   3. 分子が 0 になる所は値が 0 になるだけで、伸びていかない
   4. $\displaystyle \frac{0}{5}$$\displaystyle = 0$
5. 05水平漸近線は？$\displaystyle y=\frac{5x+1}{x-3}$答え閉じる

   答え$\displaystyle y=5$

   解き方

   1. 分子を「分母の倍数 + 余り」に分ける
   2. $\displaystyle 5x+1$$\displaystyle = 5(x-3)+16$
   3. だから
   4. $\displaystyle \frac{5x+1}{x-3}$$\displaystyle = 5+\frac{16}{x-3}$
   5. x を限りなく大きくすると右の分数は 0 に近づき、$5$ だけが残る
6. 06垂直漸近線を全て挙げると？$\displaystyle y=\frac{1}{(x-1)(x+4)}$答え閉じる

   答え$\displaystyle x=1,\ -4$

   解き方

   1. 縦の漸近線は分母 $(x-1)(x+4)$ が 0 になる x。積が 0 になるのは、どちらかが 0 のとき
   2. $\displaystyle x-1 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 1$$\displaystyle x+4 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = -4$

よくある質問

Q1分母が 0 になる $x$ には必ず漸近線がある？答え閉じる

A

そうとは限りません。$y=\frac{x^2-1}{x-1}$ は $x\neq 1$ で $y=x+1$ と同じで、$x=1$ は値が抜けているだけです。分子も 0 になるときは約分して確かめます。

Q2$y=\frac{ax+b}{cx+d}$ の水平漸近線をすぐ出すには？答え閉じる

A

$c\neq 0$、$ad-bc\neq 0$ のとき、$x$ の係数どうしの比 $y=\frac{a}{c}$ が水平漸近線です。$y=\frac{5x+1}{x-3}$ なら $y=5$ です。