微分可能性

微分係数 $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ が存在するには、$h\to +0$ と $h\to -0$ の極限が同じ値になる必要があります。

たとえば $f(x)=3|x|$ は $x=0$ で連続ですが、右からの傾きは $3$、左からの傾きは $-3$ で一致しないので微分可能ではありません。$x<4$ で $x^2$、$x\ge 4$ で $a(x-4)+16$ の関数は $x=4$ で値がつながっていて、左からの傾き $2\cdot 4=8$ と右からの傾き $a$ が等しい $a=8$ のとき微分可能です。

例題

1. 01x=0 での右からの傾きは？$\displaystyle f(x)=3|x|$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3$

   解き方

   1. x>0 では |x| = x
   2. $\displaystyle f(x)$$\displaystyle = 3x$$\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = 3$
   3. 左からは -3。一致しないので x=0 では微分できない
2. 02x=4 で微分可能になる a は？$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^{2} & (x<4) \\ a(x-4)+16 & (x \geq 4) \end{cases}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 8$

   解き方

   1. 左からの傾きは 2x なので、x=4 では
   2. $\displaystyle 2 \cdot 4$$\displaystyle = 8$
   3. 右からの傾きは a で一定
   4. この2つが等しい、が微分可能の条件
   5. $\displaystyle a$$\displaystyle = 8$
3. 03x=0 で連続だが微分可能でないのはどれ？$\displaystyle$A$\displaystyle y=x^{3}$B$\displaystyle y=3|x|$C$\displaystyle y=3x+3$D$\displaystyle y=x^{2}$答え閉じる

   答え$\displaystyle y=3|x|$
4. 04x=0 での右からの傾きは？$\displaystyle f(x)=|x|$答え閉じる

   答え$\displaystyle 1$

   解き方

   1. x>0 では |x| = x
   2. $\displaystyle f(x)$$\displaystyle = x$$\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = 1$
   3. 左からは -1。一致しないので x=0 では微分できない
5. 05x=0 での右からの傾きは？$\displaystyle f(x)=4|x|$答え閉じる

   答え$\displaystyle 4$

   解き方

   1. x>0 では |x| = x
   2. $\displaystyle f(x)$$\displaystyle = 4x$$\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = 4$
   3. 左からは -4。一致しないので x=0 では微分できない
6. 06x=2 で微分可能になる a は？$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^{2} & (x<2) \\ a(x-2)+4 & (x \geq 2) \end{cases}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 4$

   解き方

   1. 左からの傾きは 2x なので、x=2 では
   2. $\displaystyle 2 \cdot 2$$\displaystyle = 4$
   3. 右からの傾きは a で一定
   4. この2つが等しい、が微分可能の条件
   5. $\displaystyle a$$\displaystyle = 4$

よくある質問

Q1連続なら微分可能？答え閉じる

A

そうとは限りません。$y=|x|$ は $x=0$ で連続ですが、グラフが折れ曲がっていて微分可能ではありません。逆に、微分可能なら連続です。

Q2区分された関数では傾きだけそろえればいい？答え閉じる

A

値がつながっていること(連続)も必要です。つなぎ目で左右の値が一致していることを確かめてから、左右の傾きを比べます。