x→∞ の極限(収束と発散)

分子と分母を、分母の最高次の項で割って考えます。分母の次数のほうが高ければ $0$ に収束し、次数が同じなら最高次の係数の比に収束します。

分子の次数のほうが高いと発散します。たとえば $\frac{x^3+5}{x^2+3}$ は $x$ と同じくらいの速さで大きくなるので、正の無限大に発散します。正と負のどちらに発散するかは、最高次の係数の比 $\frac{a}{b}$ の符号で決まります。

例題

1. 01x→∞ で発散するのはどれ？$\displaystyle$A$\displaystyle \frac{x+4}{x^{2}+4}$B$\displaystyle \frac{x^{2}+4}{x+4}$C$\displaystyle \frac{5x+1}{x+4}$D$\displaystyle \frac{x^{2}+4}{5x^{2}}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{x^{2}+4}{x+4}$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{x^{2}+4}{x+4}$$\displaystyle = \frac{x+\frac{4}{x}}{1+\frac{4}{x}}$
   2. 一方こちらは、割ると全部 0 に消える
   3. $\displaystyle \frac{x+4}{x^{2}+4}$$\displaystyle = \frac{\frac{1}{x}+\frac{4}{x^{2}}}{1+\frac{4}{x^{2}}}$
2. 02この極限の値は？$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{4x^{2}+x}{3x^{2}+2}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{4}{3}$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{4x^{2}+x}{3x^{2}+2}$$\displaystyle = \frac{4+\frac{1}{x}}{3+\frac{2}{x^{2}}}$
   2. x を大きくすると余りの項が消える
   3. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{4x^{2}+x}{3x^{2}+2}$$\displaystyle = \frac{4}{3}$
3. 03この極限の値は？$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{5x^{2}+1}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 0$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{2x+1}{5x^{2}+1}$$\displaystyle = \frac{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{5+\frac{1}{x^{2}}}$
   2. 分子側が全部 0 に近づく
   3. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{5x^{2}+1}$$\displaystyle = \frac{0}{5} = 0$
4. 04この極限はどうなる？$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}+5}{x^{2}+3}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 正の無限大に発散する$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{x^{3}+5}{x^{2}+3}$$\displaystyle = \frac{x+\frac{5}{x^{2}}}{1+\frac{3}{x^{2}}}$
   2. 分子に x が残る
   3. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}+5}{x^{2}+3}$$\displaystyle = \infty$
5. 05この極限の値は？$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{4x+1}{2x^{2}+1}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 0$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{4x+1}{2x^{2}+1}$$\displaystyle = \frac{\frac{4}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{2+\frac{1}{x^{2}}}$
   2. 分子側が全部 0 に近づく
   3. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{4x+1}{2x^{2}+1}$$\displaystyle = \frac{0}{2} = 0$
6. 06この極限の値は？$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{5x+1}{4x^{2}+1}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 0$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{5x+1}{4x^{2}+1}$$\displaystyle = \frac{\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{4+\frac{1}{x^{2}}}$
   2. 分子側が全部 0 に近づく
   3. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{5x+1}{4x^{2}+1}$$\displaystyle = \frac{0}{4} = 0$

よくある質問

Q1$\frac{2x+1}{5x^2+1}$ の極限は $\frac{2}{5}$ ではない？答え閉じる

A

係数の比になるのは、分子と分母の次数が同じときだけです。この式は分子が1次、分母が2次なので、$x^2$ で割ると $\frac{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{5+\frac{1}{x^2}}$ となり、$0$ に収束します。