第 2 次導関数

$f(x)$ を 1 回微分して $f'(x)$、それをさらに微分して $f''(x)$ です。$y''$ や $\frac{d^2y}{dx^2}$ とも書きます。

1 回ずつ順に微分し、途中の $f'(x)$ を書き出すと係数の取り違えが減ります。$f''(x)$ の符号はグラフの凹凸を調べるときに使います。

例題

1. 01f''(x) は？$\displaystyle f(x)=x^3$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6x$

   解き方

   1. 1回微分する
   2. $\displaystyle \frac{d}{dx}\,x^{3}$$\displaystyle = 3x^{2}$
   3. 出てきた式をもう1回微分する
   4. $\displaystyle \frac{d}{dx}\,3x^{2}$$\displaystyle = 6x$
2. 02f''(x) は？$\displaystyle f(x)=x^3-2x^2$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6x-4$

   解き方

   1. 1回微分する
   2. $\displaystyle \frac{d}{dx}\,(x^{3}-2x^2)$$\displaystyle = 3x^{2}-4x$
   3. 出てきた式をもう1回微分する
   4. $\displaystyle \frac{d}{dx}\,(3x^{2}-4x)$$\displaystyle = 6x-4$
3. 03f''(x) は？$\displaystyle f(x)=x^4$答え閉じる

   答え$\displaystyle 12x^2$

   解き方

   1. 1回微分する
   2. $\displaystyle \frac{d}{dx}\,x^{4}$$\displaystyle = 4x^{3}$
   3. 出てきた式をもう1回微分する
   4. $\displaystyle \frac{d}{dx}\,4x^{3}$$\displaystyle = 12x^{2}$
4. 04f''(x) は？$\displaystyle f(x)=x^3+3x^2$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6x+6$

   解き方

   1. 1回微分する
   2. $\displaystyle \frac{d}{dx}\,(x^{3}+3x^2)$$\displaystyle = 3x^{2}+6x$
   3. 出てきた式をもう1回微分する
   4. $\displaystyle \frac{d}{dx}\,(3x^{2}+6x)$$\displaystyle = 6x+6$
5. 05f''(x) は？$\displaystyle f(x)=x^3-3x^2$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6x-6$

   解き方

   1. 1回微分する
   2. $\displaystyle \frac{d}{dx}\,(x^{3}-3x^2)$$\displaystyle = 3x^{2}-6x$
   3. 出てきた式をもう1回微分する
   4. $\displaystyle \frac{d}{dx}\,(3x^{2}-6x)$$\displaystyle = 6x-6$
6. 06f''(x) は？$\displaystyle f(x)=x^3+2x^2$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6x+4$

   解き方

   1. 1回微分する
   2. $\displaystyle \frac{d}{dx}\,(x^{3}+2x^2)$$\displaystyle = 3x^{2}+4x$
   3. 出てきた式をもう1回微分する
   4. $\displaystyle \frac{d}{dx}\,(3x^{2}+4x)$$\displaystyle = 6x+4$

よくある質問