미적분: 여러 가지 미분법

무한등비급수

첫째항이 aa, 공비가 rr인 무한등비급수는 ∣r∣<1|r|<1일 때 수렴하고, 그 합은 a1−r\frac{a}{1-r}이에요.

∑n=1∞arn−1=a1−r(∣r∣<1)\begin{gathered} \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1} \\[4pt] =\frac{a}{1-r}\quad(|r|<1) \end{gathered}

무한급수의 합은 부분합 SnS_n의 n→∞n\to\infty일 때의 극한이에요. 등비수열이면 Sn=a(1−rn)1−rS_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r} (r≠1)(r\ne1)이고, ∣r∣<1|r|<1이면 rn→0r^n\to0이므로 다음이 성립해요.

a+ar+ar2+⋯=a1−r(∣r∣<1)\begin{gathered} a+ar+ar^2+\cdots=\frac{a}{1-r} \\[4pt] (|r|<1) \end{gathered}

공비는 둘째항을 첫째항으로 나눠서 구해요. 3+1+13+⋯3+1+\frac{1}{3}+\cdots이면 r=13r=\frac{1}{3}이고, 합은 31−13=92\frac{3}{1-\frac{1}{3}}=\frac{9}{2}예요.

예제

  1. 01이 급수의 공비는?1+12+14+⋯\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots답닫기
    답12\displaystyle \frac{1}{2}

    풀이

    1. 이웃한 항끼리의 비를 봐요
    2. 121\displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{1}=12\displaystyle = \frac{1}{2}1412\displaystyle \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=12\displaystyle = \frac{1}{2}
  2. 02이 무한등비급수의 합은?a=6,r=13\displaystyle a=6, \quad r=\frac{1}{3}답닫기
    답9\displaystyle 9

    풀이

    1. 1−13\displaystyle 1 - \frac{1}{3}=23\displaystyle = \frac{2}{3}
    2. 첫째항을 이것으로 나눠요
    3. 623\displaystyle \frac{6}{\frac{2}{3}}=9\displaystyle = 9
  3. 03공비는 13\frac{1}{3}이에요. 이 무한등비급수의 합은?3+1+13+⋯\displaystyle 3 + 1 + \frac{1}{3} + \cdots답닫기
    답92\displaystyle \frac{9}{2}

    풀이

    1. 1−13\displaystyle 1 - \frac{1}{3}=23\displaystyle = \frac{2}{3}
    2. 첫째항을 이것으로 나눠요
    3. 323\displaystyle \frac{3}{\frac{2}{3}}=92\displaystyle = \frac{9}{2}
  4. 04이 무한등비급수의 합은?a=3,r=14\displaystyle a=3, \quad r=\frac{1}{4}답닫기
    답4\displaystyle 4

    풀이

    1. 1−14\displaystyle 1 - \frac{1}{4}=34\displaystyle = \frac{3}{4}
    2. 첫째항을 이것으로 나눠요
    3. 334\displaystyle \frac{3}{\frac{3}{4}}=4\displaystyle = 4
  5. 05이 급수의 공비는?1+13+19+⋯\displaystyle 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots답닫기
    답13\displaystyle \frac{1}{3}

    풀이

    1. 이웃한 항끼리의 비를 봐요
    2. 131\displaystyle \frac{\frac{1}{3}}{1}=13\displaystyle = \frac{1}{3}1913\displaystyle \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}=13\displaystyle = \frac{1}{3}
  6. 06이 무한등비급수의 합은?a=2,r=12\displaystyle a=2, \quad r=\frac{1}{2}답닫기
    답4\displaystyle 4

    풀이

    1. 1−12\displaystyle 1 - \frac{1}{2}=12\displaystyle = \frac{1}{2}
    2. 첫째항을 이것으로 나눠요
    3. 212\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{2}}=4\displaystyle = 4

자주 묻는 질문

Q1∣r∣≥1|r|\ge1이면 어떻게 되나요?답닫기
A
a≠0a\ne0이면 수렴하지 않아요(발산해요). 예를 들어 r=−1r=-1이면 부분합이 a, 0, a, 0, …a,\ 0,\ a,\ 0,\ \ldots으로 진동해서 극한이 없어요. 한편 a=0a=0이면 어떤 rr이든 합은 00이에요.
Q2공비를 잘못 읽지 않으려면?답닫기
A
이웃한 두 항의 비를 계산해요. 1+12+14+⋯1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots이면 12÷1=12\frac{1}{2}\div1=\frac{1}{2}이에요. 항끼리의 차가 아니라 비를 봐요.

공개 2026-10-14 · 최종 수정 2026-10-14