속도와 가속도

위치 $x(t)$를 $t$로 한 번 미분하면 속도 $v$, 두 번 미분하면 가속도 $a$가 돼요.

예를 들어 $x(t)=t^3-12t$이면 $v=3t^2-12$, $a=6t$예요. $v=0$이 되는 $t=2$($t>0$인 쪽)에서 점은 운동 방향을 바꿔요. 어떤 시각의 속도는 $v(t)$를 먼저 구한 뒤 $t$의 값을 대입해요.

예제

1. 01t=1에서의 속도는?$\displaystyle x(t)=t^{2}-2t$답닫기

   답$\displaystyle 0$

   풀이

   1. 먼저 미분해서 속도를 구해요
   2. $\displaystyle v$$\displaystyle = 2t-2$
   3. 그다음 t = 1을 대입해요
   4. $\displaystyle 2 \cdot 1 -2$$\displaystyle = 0$
2. 02속도 v는?$\displaystyle x(t)=t^{2}-3t$답닫기

   답$\displaystyle 2t-3$

   풀이

   1. 항별로 미분해요
   2. $\displaystyle t^{2}$$\displaystyle \to 2t$$\displaystyle -3t$$\displaystyle \to -3$
3. 03가속도 a는?$\displaystyle v(t)=9t^{2}-4$답닫기

   답$\displaystyle 18t$

   풀이

   1. 항별로 미분해요
   2. $\displaystyle 9t^{2}$$\displaystyle \to 18t$$\displaystyle -4$$\displaystyle \to 0$
4. 04속도가 0이 되는 시각 t는? (양수인 쪽)$\displaystyle x(t)=t^{3}-12t,\; v(t)=3t^{2}-12$답닫기

   답$\displaystyle 2$

   풀이

   1. $\displaystyle 3t^{2}-12 = 0$$\displaystyle \Rightarrow t^{2} = 4$
   2. 시각이므로 양의 근을 택해요
   3. $\displaystyle t$$\displaystyle = 2$
5. 05속도 v는?$\displaystyle x(t)=t^{2}-5t$답닫기

   답$\displaystyle 2t-5$

   풀이

   1. 항별로 미분해요
   2. $\displaystyle t^{2}$$\displaystyle \to 2t$$\displaystyle -5t$$\displaystyle \to -5$
6. 06가속도 a는?$\displaystyle v(t)=2t-2$답닫기

   답$\displaystyle 2$

   풀이

   1. 항별로 미분해요
   2. $\displaystyle 2t$$\displaystyle \to 2$$\displaystyle -2$$\displaystyle \to 0$

자주 묻는 질문

Q1속도와 속력은 어떻게 다른가요?답닫기

A

속도는 방향을 포함하고 음수일 수도 있어요. 속력은 속도의 절댓값 $|v|$예요. $v=-3$이면 음의 방향으로 속력 3으로 움직이고 있어요.

Q2가속도가 양수면 빨라지고 있는 건가요?답닫기

A

꼭 그렇지는 않아요. 속력이 커지는 건 $v$와 $a$의 부호가 같을 때예요. $v<0$, $a>0$이면 속력은 줄어들고 있어요.