평균값 정리

$f(x)$가 닫힌구간 $[a,\ b]$에서 연속이고 열린구간 $(a,\ b)$에서 미분가능하면, 다음을 만족하는 $c$가 존재해요.

좌변은 두 끝점을 잇는 직선의 기울기(평균변화율)이고, 우변은 $x=c$에서의 접선의 기울기예요. $f(x)=x^2$, 구간 $[1,\ 3]$이라면 평균변화율은 $\frac{9-1}{3-1}=4$이고, $f'(c)=2c=4$에서 $c=2$예요.

예제

1. 01이 구간에서의 평균변화율은?$\displaystyle f(x)=x^{2}, \quad [1,\ 3]$답닫기

   답$\displaystyle 4$

   풀이

   1. 양 끝의 높이 차를 구간의 폭으로 나눠요
   2. $\displaystyle \frac{9-1}{3-1}$$\displaystyle = 4$
2. 02□에 들어갈 것은?$\displaystyle f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{\square}$답닫기

   답$\displaystyle b-a$

   풀이

   1. 평균변화율은 높이 차를 폭으로 나눈 값이에요
   2. $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
   3. $a-b$를 쓰면 폭이 음수가 되어 부호가 반대로 바뀌어요
3. 03이 $c$의 값은?$\displaystyle f(x)=x^{2}, \quad f'(c)=8$답닫기

   답$\displaystyle 4$

   풀이

   1. $f(x)=x^2$을 미분하면 $2x$예요. $x=c$에서 같다고 놓아요
   2. $\displaystyle 2c = 8$$\displaystyle \Rightarrow c = 4$
4. 04평균값 정리에 의해 이러한 $c$가 존재해요. $c$가 만족하는 식은?$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 5, \\[6pt] \displaystyle a<c<b \end{gathered}$답닫기

   답$\displaystyle f'(c)=5$
5. 05이 구간에서의 평균변화율은?$\displaystyle f(x)=x^{2}, \quad [2,\ 5]$답닫기

   답$\displaystyle 7$

   풀이

   1. 양 끝의 높이 차를 구간의 폭으로 나눠요
   2. $\displaystyle \frac{25-4}{5-2}$$\displaystyle = 7$
6. 06이 구간에서의 평균변화율은?$\displaystyle f(x)=x^{2}, \quad [3,\ 6]$답닫기

   답$\displaystyle 9$

   풀이

   1. 양 끝의 높이 차를 구간의 폭으로 나눠요
   2. $\displaystyle \frac{36-9}{6-3}$$\displaystyle = 9$

자주 묻는 질문

Q1$f(x)=x^2$일 때 $c$는 어디인가요?답닫기

A

평균변화율은 $\frac{b^2-a^2}{b-a}=a+b$이고 $f'(c)=2c$이므로 $c=\frac{a+b}{2}$, 즉 구간의 한가운데예요. 이차함수라면 항상 그래요.

Q2정리를 쓸 수 없는 건 어떤 경우인가요?답닫기

A

구간 안에 연속이 아니거나 미분가능하지 않은 점이 있을 때예요. $\tan x$는 $x=\frac{\pi}{2}$에서 정의되지 않으므로 $[0,\ \pi]$에서는 쓸 수 없어요.