1/x와 √x의 미분

$(x^n)'=nx^{n-1}$는 지수 $n$이 음수나 분수일 때도 성립해요. $\frac{1}{x}=x^{-1}$이면 $-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$, $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$이면 $\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$이에요.

안쪽이 $ax+b$일 때는 합성함수의 미분법으로 안쪽의 미분 $a$를 곱해요.

예를 들어 $\left(\sqrt{4x+5}\right)'=\frac{4}{2\sqrt{4x+5}}=\frac{2}{\sqrt{4x+5}}$이고, 약분할 수 있으면 약분해요.

예제

1. 01미분하세요$\displaystyle \frac{d}{dx} \frac{1}{x}$답닫기

   답$\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
2. 02미분하세요$\displaystyle \frac{d}{dx} \sqrt{5x + 1}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{5x + 1}}$
3. 03미분하세요$\displaystyle \frac{d}{dx} \sqrt{4x + 5}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{4x + 5}}$
4. 04미분하세요$\displaystyle \frac{d}{dx} \sqrt{2x + 3}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x + 3}}$
5. 05미분하세요$\displaystyle \frac{d}{dx} \sqrt{x + 6}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x + 6}}$
6. 06미분하세요$\displaystyle \frac{d}{dx} \sqrt{2x + 6}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x + 6}}$

자주 묻는 질문

Q1$\sqrt{5x+1}$을 미분해서 $\frac{1}{2\sqrt{5x+1}}$이라고 했더니 틀렸어요. 왜 그런가요?답닫기

A

안쪽 $5x+1$의 미분 $5$를 곱하지 않았어요. 바르게 하면 $\frac{5}{2\sqrt{5x+1}}$이에요.

Q2$\frac{1}{x}$의 도함수는 왜 음수인가요?답닫기

A

$\frac{1}{x}=x^{-1}$이므로 지수 $-1$이 앞으로 나와서 $-x^{-2}$가 돼요. 그래프로 봐도 $x>0$, $x<0$ 어느 쪽에서든 오른쪽으로 갈수록 내려가는(기울기가 음수인) 모양이에요.