유리함수의 그래프

$y=\frac{k}{x}$ $(k\neq 0)$의 그래프는 $x$축과 $y$축을 점근선으로 하는 쌍곡선이에요. 이것을 평행이동한 것이 $y=\frac{k}{x-p}+q$이고, 점근선은 $x=p$와 $y=q$, 두 점근선의 교점 $(p,\ q)$가 쌍곡선의 중심이에요.

$y=\frac{ax+b}{x-p}$ 꼴은 분자를 분모로 나누어 $\frac{k}{x-p}+q$ 꼴로 바꿔요.

이 예에서는 중심이 $(1,\ 5)$이고, 점근선은 $x=1$과 $y=5$예요.

예제

1. 01이 쌍곡선의 중심은?$\displaystyle y=\frac{3}{x-2}-5$답닫기

   답$\displaystyle (2,\ -5)$
2. 02수직 점근선의 x의 값은?$\displaystyle y=\frac{4}{x-3}$답닫기

   답$\displaystyle 3$

   풀이

   1. 분모를 0으로 만드는 x
   2. $\displaystyle x-3 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 3$
3. 03x=0이 수직 점근선이 되는 것은?$\displaystyle$A$\displaystyle y=\frac{1}{x+4}$B$\displaystyle y=x$C$\displaystyle y=\frac{1}{x}$D$\displaystyle y=\frac{x}{x-3}$답닫기

   답$\displaystyle y=\frac{1}{x}$

   풀이

   1. 분모를 0으로 만드는 x를 찾아요
   2. $\displaystyle x = 0$$\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{0}$
   3. 반면 $\frac{1}{x-3}$은 $x=3$에서 한없이 커져요
4. 04□에 들어갈 것은?$\displaystyle y=\frac{5x+2}{x-1} = \frac{k}{x-1}+\square$답닫기

   답$\displaystyle 5$

   풀이

   1. 분자를 (분모의 배수) + (나머지) 꼴로 나타내요
   2. $\displaystyle 5x+2$$\displaystyle = 5(x-1)+7$
   3. 따라서
   4. $\displaystyle \frac{5x+2}{x-1}$$\displaystyle = 5 + \frac{7}{x-1}$
5. 05이 쌍곡선의 중심은?$\displaystyle y=\frac{3}{x-5}-1$답닫기

   답$\displaystyle (5,\ -1)$
6. 06이 쌍곡선의 중심은?$\displaystyle y=\frac{1}{x-4}-4$답닫기

   답$\displaystyle (4,\ -4)$

   풀이

   1. 중심의 x는 x−p가 0이 되는 곳이에요
   2. $\displaystyle x-4 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 4$
   3. 더해진 -4가 중심의 y예요

자주 묻는 질문

Q1$y=\frac{1}{x+4}+4$의 중심은 $(4,\ 4)$인가요?답닫기

A

아니에요. $x+4=x-(-4)$이므로 $p=-4$이고, 중심은 $(-4,\ 4)$예요. 분모를 $0$으로 만드는 $x$가 수직 점근선이라고 생각하면 부호를 덜 틀려요.

Q2$y=\frac{5x+2}{x-1}$의 수평 점근선은 어떻게 찾나요?답닫기

A

분자를 분모로 나누어 $\frac{7}{x-1}+5$로 바꾸면, 상수 부분 $5$에서 $y=5$가 수평 점근선이라는 걸 알 수 있어요.