로그미분법

$y=x^x$ $(x>0)$은 밑과 지수에 모두 $x$가 있어서 $(x^n)'$ 공식도 $(a^x)'$ 공식도 그대로는 쓸 수 없어요. 그래서 양변에 로그를 취해요(예제의 $\log_e$는 자연로그 $\ln$이에요).

좌변 $\ln y$는 합성함수의 미분법으로 $\frac{y'}{y}$가 돼요. 마지막에 양변에 $y$를 곱하고 $y$를 원래 식으로 되돌려요.

예제

1. 01y'은?$\displaystyle \frac{y'}{y} = \ln x + 1$답닫기

   답$\displaystyle y(\ln x + 1)$

   풀이

   1. 양변에 $y$를 곱하기만 하면 돼요
   2. 그 $y$는 원래 함수예요. 마지막에 $y=x^{x}$처럼 다시 써 넣어요
2. 02밑과 지수에 모두 $x$가 있어서 공식을 그대로 쓸 수 없는 것은?$\displaystyle$A$\displaystyle y=e^{x}$B$\displaystyle y=2^{x}$C$\displaystyle y=x^{2}$D$\displaystyle y=x^{x}$답닫기

   답$\displaystyle y=x^{x}$

   풀이

   1. $y=x^{x}$뿐이에요. 밑과 지수가 모두 $x$이므로 거듭제곱의 미분법($x^{n}$)도 지수함수의 미분법($a^{x}$)도 맞지 않아요
   2. $e^{x}$과 $2^{x}$은 밑이 상수이므로 지수함수의 미분법으로, $x^{2}$은 지수가 상수이므로 거듭제곱의 미분법으로 처리해요
3. 03양의 값을 갖는 함수 y=f(x)의 양변에 로그를 취해서 미분했어요. □는?$\displaystyle (\ln y)' = \square$답닫기

   답$\displaystyle \frac{y'}{y}$

   풀이

   1. $\ln y$는 $y$를 거친 합성함수예요. 바깥 $\ln$을 미분하면 $\frac{1}{y}$, 안쪽 $y$를 미분하면 $y'$이에요
   2. 곱하면 $\frac{y'}{y}$이 돼요. $y$가 $x$에 따라 변하므로 $y'$이 나와요
4. 04우변을 미분하면?$\displaystyle \ln y = x\ln x$답닫기

   답$\displaystyle \ln x + 1$

   풀이

   1. 곱의 미분법이에요. $x$를 미분하면 1, $\ln x$를 미분하면 $\frac{1}{x}$
   2. $\displaystyle 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}$$\displaystyle = \ln x + 1$
   3. 두 번째 항에서 $x$가 약분되어 1이 돼요. 이것이 $+1$이 나오는 이유예요
5. 05양변에 로그를 취하면 $\ln y$는?$\displaystyle y=x^{3x}$답닫기

   답$\displaystyle 3x\ln x$

   풀이

   1. 지수는 $\ln$ 앞으로 내려와요. $\ln x^{3x} = 3x\ln x$
   2. 합이 되지 않아요. $x^{3x}$은 $x$를 $3x$번 곱한 것이므로 $\ln$은 $3x$배가 돼요
6. 06양변에 로그를 취하면 $\ln y$는?$\displaystyle y=x^{x}$답닫기

   답$\displaystyle x\ln x$

   풀이

   1. 지수는 $\ln$ 앞으로 내려와요. $\ln x^{x} = x\ln x$
   2. 합이 되지 않아요. $x^{x}$은 $x$를 $x$번 곱한 것이므로 $\ln$은 $x$배가 돼요

자주 묻는 질문

Q1로그를 취할 때 무엇을 조심하나요?답닫기

A

진수가 양수여야 해요. $y=x^x$는 $x>0$에서 생각하므로 $y>0$이고, 그대로 $\ln y$를 취할 수 있어요. 음수 값도 가질 수 있는 함수라면 $\ln|y|$를 취해요.

Q2$\frac{y'}{y}=\ln x+1$에서 끝내도 되나요?답닫기

A

아직 중간이에요. 양변에 $y$를 곱해서 $y'=y(\ln x+1)$로 만들고, $y=x^x$를 대입해서 $y'=x^x(\ln x+1)$까지 써요.