미적분: 여러 가지 미분법

미분가능성

함수가 x=ax=a에서 미분가능한지는 오른쪽에서 다가간 기울기와 왼쪽에서 다가간 기울기가 같은지로 확인해요.

lim⁡h→0+f(a+h)−f(a)h=lim⁡h→0−f(a+h)−f(a)h\begin{gathered} \lim_{h\to 0+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\[4pt] =\lim_{h\to 0-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{gathered}

미분계수 f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}가 존재하려면 h→0+h\to 0+와 h→0−h\to 0-일 때의 극한이 같아야 해요.

lim⁡h→0+f(a+h)−f(a)h=lim⁡h→0−f(a+h)−f(a)h\begin{gathered} \lim_{h\to 0+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\[4pt] =\lim_{h\to 0-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{gathered}

예를 들어 f(x)=3∣x∣f(x)=3|x|는 x=0x=0에서 연속이지만, 오른쪽에서의 기울기는 33, 왼쪽에서의 기울기는 −3-3으로 같지 않으므로 미분가능하지 않아요. x<4x<4에서 x2x^2, x≥4x\ge 4에서 a(x−4)+16a(x-4)+16인 함수는 x=4x=4에서 함숫값이 이어져 있고, 왼쪽 기울기 2⋅4=82\cdot 4=8과 오른쪽 기울기 aa가 같은 a=8a=8일 때 미분가능해요.

예제

  1. 01x=0에서 오른쪽에서의 기울기는?f(x)=3∣x∣\displaystyle f(x)=3|x|답닫기
    답3\displaystyle 3

    풀이

    1. x > 0이면 |x| = x
    2. f(x)\displaystyle f(x)=3x\displaystyle = 3xf′(x)\displaystyle f'(x)=3\displaystyle = 3
    3. 왼쪽 기울기는 -3. 서로 다르므로 0에서 미분가능하지 않아요
  2. 02x=4에서 미분가능하게 하는 a는?f(x)={x2(x<4)a(x−4)+16(x≥4)\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^{2} & (x<4) \\ a(x-4)+16 & (x \geq 4) \end{cases}답닫기
    답8\displaystyle 8

    풀이

    1. 왼쪽 기울기는 2x이므로 x=4에서는
    2. 2⋅4\displaystyle 2 \cdot 4=8\displaystyle = 8
    3. 오른쪽 기울기는 상수 a예요
    4. 미분가능하려면 이 두 값이 같아야 해요
    5. a\displaystyle a=8\displaystyle = 8
  3. 03x=0에서 연속이지만 미분가능하지 않은 것은?\displaystyle Ay=x3\displaystyle y=x^{3}By=3∣x∣\displaystyle y=3|x|Cy=3x+3\displaystyle y=3x+3Dy=x2\displaystyle y=x^{2}답닫기
    답y=3∣x∣\displaystyle y=3|x|
  4. 04x=0에서 오른쪽에서의 기울기는?f(x)=∣x∣\displaystyle f(x)=|x|답닫기
    답1\displaystyle 1

    풀이

    1. x > 0이면 |x| = x
    2. f(x)\displaystyle f(x)=x\displaystyle = xf′(x)\displaystyle f'(x)=1\displaystyle = 1
    3. 왼쪽 기울기는 -1. 서로 다르므로 0에서 미분가능하지 않아요
  5. 05x=0에서 오른쪽에서의 기울기는?f(x)=4∣x∣\displaystyle f(x)=4|x|답닫기
    답4\displaystyle 4

    풀이

    1. x > 0이면 |x| = x
    2. f(x)\displaystyle f(x)=4x\displaystyle = 4xf′(x)\displaystyle f'(x)=4\displaystyle = 4
    3. 왼쪽 기울기는 -4. 서로 다르므로 0에서 미분가능하지 않아요
  6. 06x=2에서 미분가능하게 하는 a는?f(x)={x2(x<2)a(x−2)+4(x≥2)\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^{2} & (x<2) \\ a(x-2)+4 & (x \geq 2) \end{cases}답닫기
    답4\displaystyle 4

    풀이

    1. 왼쪽 기울기는 2x이므로 x=2에서는
    2. 2⋅2\displaystyle 2 \cdot 2=4\displaystyle = 4
    3. 오른쪽 기울기는 상수 a예요
    4. 미분가능하려면 이 두 값이 같아야 해요
    5. a\displaystyle a=4\displaystyle = 4

자주 묻는 질문

Q1연속이면 미분가능한가요?답닫기
A
꼭 그렇지는 않아요. y=∣x∣y=|x|는 x=0x=0에서 연속이지만 그래프가 꺾여 있어서 미분가능하지 않아요. 반대로 미분가능하면 연속이에요.
Q2구간별로 정의된 함수에서는 기울기만 맞추면 되나요?답닫기
A
함숫값이 이어져 있는 것(연속)도 필요해요. 이음매에서 좌우의 함숫값이 같은지 먼저 확인한 뒤 좌우의 기울기를 비교해요.

공개 2026-10-14 · 최종 수정 2026-10-14