x→∞일 때의 극한(수렴과 발산)

분자와 분모를 분모의 최고차항으로 나누어 생각해요. 분모의 차수가 더 높으면 $0$에 수렴하고, 차수가 같으면 최고차항의 계수의 비에 수렴해요.

분자의 차수가 더 높으면 발산해요. 예를 들어 $\frac{x^3+5}{x^2+3}$은 $x$와 비슷한 속도로 커지므로 양의 무한대로 발산해요. 양과 음 중 어느 쪽으로 발산하는지는 최고차항의 계수의 비 $\frac{a}{b}$의 부호로 정해져요.

예제

1. 01x→∞일 때 발산하는 것은?$\displaystyle$A$\displaystyle \frac{x+4}{x^{2}+4}$B$\displaystyle \frac{x^{2}+4}{x+4}$C$\displaystyle \frac{5x+1}{x+4}$D$\displaystyle \frac{x^{2}+4}{5x^{2}}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{x^{2}+4}{x+4}$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{x^{2}+4}{x+4}$$\displaystyle = \frac{x+\frac{4}{x}}{1+\frac{4}{x}}$
   2. 반면 이쪽은 모두 사라져요
   3. $\displaystyle \frac{x+4}{x^{2}+4}$$\displaystyle = \frac{\frac{1}{x}+\frac{4}{x^{2}}}{1+\frac{4}{x^{2}}}$
2. 02이 극한값은?$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{4x^{2}+x}{3x^{2}+2}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{4}{3}$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{4x^{2}+x}{3x^{2}+2}$$\displaystyle = \frac{4+\frac{1}{x}}{3+\frac{2}{x^{2}}}$
   2. x가 커지면 나머지 항은 사라져요
   3. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{4x^{2}+x}{3x^{2}+2}$$\displaystyle = \frac{4}{3}$
3. 03이 극한값은?$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{5x^{2}+1}$답닫기

   답$\displaystyle 0$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{2x+1}{5x^{2}+1}$$\displaystyle = \frac{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{5+\frac{1}{x^{2}}}$
   2. 분자의 항이 모두 0에 가까워져요
   3. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{5x^{2}+1}$$\displaystyle = \frac{0}{5} = 0$
4. 04이 극한값은?$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{4x+1}{2x^{2}+1}$답닫기

   답$\displaystyle 0$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{4x+1}{2x^{2}+1}$$\displaystyle = \frac{\frac{4}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{2+\frac{1}{x^{2}}}$
   2. 분자의 항이 모두 0에 가까워져요
   3. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{4x+1}{2x^{2}+1}$$\displaystyle = \frac{0}{2} = 0$
5. 05이 극한값은?$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{5x+1}{4x^{2}+1}$답닫기

   답$\displaystyle 0$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{5x+1}{4x^{2}+1}$$\displaystyle = \frac{\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{4+\frac{1}{x^{2}}}$
   2. 분자의 항이 모두 0에 가까워져요
   3. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{5x+1}{4x^{2}+1}$$\displaystyle = \frac{0}{4} = 0$
6. 06이 극한값은?$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{3x^{2}+1}$답닫기

   답$\displaystyle 0$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{2x+1}{3x^{2}+1}$$\displaystyle = \frac{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{3+\frac{1}{x^{2}}}$
   2. 분자의 항이 모두 0에 가까워져요
   3. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{3x^{2}+1}$$\displaystyle = \frac{0}{3} = 0$

자주 묻는 질문

Q1$\frac{2x+1}{5x^2+1}$의 극한은 $\frac{2}{5}$ 아닌가요?답닫기

A

계수의 비가 답이 되는 건 분자와 분모의 차수가 같을 때뿐이에요. 이 식은 분자가 일차, 분모가 이차이므로 $x^2$으로 나누면 $\frac{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{5+\frac{1}{x^2}}$이 되어 $0$에 수렴해요.