역함수의 미분법

$x$가 $y$에 대한 식으로 쓰여 있을 때(예를 들어 $x=y^3$), 먼저 $y$에 대해 미분하여 $\frac{dx}{dy}=3y^2$을 구하고 역수를 취해요.

이것은 $y=x^{1/3}$을 직접 미분한 $\frac{1}{3}x^{-2/3}$을 $y$로 나타낸 것과 같아요. $x=e^y$이면 $\frac{dx}{dy}=e^y$이므로 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}$이고, 여기서 $(\ln x)'=\frac{1}{x}$이 나와요.

답을 $y$로 둘지 $x$로 바꿀지는 문제에 따라 달라요.

예제

1. 01dy/dx는?$\displaystyle x=y^3$답닫기

   답$\displaystyle \frac{1}{3y^2}$
2. 02dy/dx는?$\displaystyle x=2y$답닫기

   답$\displaystyle \frac{1}{2}$
3. 03dy/dx는?$\displaystyle x=y^2$답닫기

   답$\displaystyle \frac{1}{2y}$
4. 04dy/dx는?$\displaystyle x=y^5$답닫기

   답$\displaystyle \frac{1}{5y^4}$
5. 05dy/dx는?$\displaystyle x=e^y$답닫기

   답$\displaystyle \frac{1}{e^y}$
6. 06dy/dx는?$\displaystyle x=\sin y$답닫기

   답$\displaystyle \frac{1}{\cos y}$

자주 묻는 질문

Q1왜 그냥 역수가 되나요?답 보기닫기

A

$\Delta y/\Delta x$와 $\Delta x/\Delta y$는 서로 역수이기 때문이에요. $dx/dy\neq 0$인 곳에서는 극한을 취해도 이 관계가 유지되어 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}$가 돼요.

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공개 2026-10-04 · 최종 수정 2026-10-04