음함수의 미분법 공식과 연습 문제

네. 음함수의 미분법에서는 y'을 x와 y에 대한 식으로 나타내는 것이 보통이에요. 곡선 위의 점 (x,\ y)를 대입하면 그 점에서의 기울기를 구할 수 있어요.

x에 대하여 미분하는 것이므로 2y\,y'이 맞아요. y'을 빠뜨리면 y'에 대하여 풀 수 없어요.

\begin{gathered} \frac{d}{dx}f(y) \\[4pt] =f'(y)\,\frac{dy}{dx} \end{gathered}

$y$ 는 $x$ 의 함수이므로, $y$ 가 있는 항을 $x$ 에 대하여 미분하면 합성함수의 미분법에 따라 $y'$ 이 곱해져요. 예를 들어 $\frac{d}{dx}y^2=2y\,y'$ 이에요.

\begin{gathered} x^2+2y^2=4 \\[4pt] \Rightarrow\ 2x+4y\,y'=0\ \Rightarrow\ y'=-\frac{x}{2y}\quad(y\neq 0) \end{gathered}

$xy=2$ 처럼 곱으로 된 식은 곱의 미분법을 써서 $y+x\,y'=0$ 이므로 $y'=-\frac{y}{x}$ 예요.

예제

Q1답에

y

가 남아 있어도 되나요?답닫기

네. 음함수의 미분법에서는

y'

을

x

와

y

에 대한 식으로 나타내는 것이 보통이에요. 곡선 위의 점

(x,\ y)

를 대입하면 그 점에서의 기울기를 구할 수 있어요.

y^2

을 미분해서

2y

라고 하면 틀리나요?답닫기

x

에 대하여 미분하는 것이므로

2y\,y'

이 맞아요.

y'

을 빠뜨리면

y'

에 대하여 풀 수 없어요.

공개 2026-10-14 · 최종 수정 2026-10-14