함수의 연속(좌극한과 우극한)

좌극한 $\lim_{x\to a-}f(x)$는 $x$가 $a$보다 작은 쪽에서 가까워질 때의 값이고, 우극한 $\lim_{x\to a+}f(x)$는 큰 쪽에서 가까워질 때의 값이에요. 구간별로 정의된 함수에서는 $x<a$인 식으로 좌극한을, $x\ge a$인 식으로 우극한을 계산해요.

이 세 값이 같으면 $x=a$에서 연속이에요. 예를 들어 $x<4$에서 $2x$, $x\ge 4$에서 $x+a$인 함수라면, 좌극한 $8$과 우극한 $4+a$가 같아지는 $a=4$일 때 $x=4$에서 연속이 돼요.

예제

1. 01x=1에서의 좌극한은?$\displaystyle f(x)=\begin{cases} 4x & (x<1) \\ x+2 & (x \geq 1) \end{cases}$답닫기

   답$\displaystyle 4$

   풀이

   1. 왼쪽에서 다가가므로 x<1일 때의 식을 써요
   2. $\displaystyle 4 \cdot 1$$\displaystyle = 4$
2. 02x=4에서 연속이 되도록 하는 a의 값은?$\displaystyle f(x)=\begin{cases} 2x & (x<4) \\ x+a & (x \geq 4) \end{cases}$답닫기

   답$\displaystyle 4$

   풀이

   1. 왼쪽에서 다가갈 때의 값
   2. $\displaystyle 2 \cdot 4$$\displaystyle = 8$
   3. 오른쪽에서 다가갈 때의 값
   4. $\displaystyle 4+a$
   5. 연속이려면 이 두 값이 같아야 해요
   6. $\displaystyle 4+a = 8$$\displaystyle \Rightarrow a = 4$
3. 03x=4에서의 우극한은?$\displaystyle f(x)=\begin{cases} 3x & (x<4) \\ x+2 & (x \geq 4) \end{cases}$답닫기

   답$\displaystyle 6$

   풀이

   1. 오른쪽에서 다가가므로 x≥4일 때의 식을 써요
   2. $\displaystyle 4+2$$\displaystyle = 6$
   3. 왼쪽에서는 다른 식을 써서 12가 돼요
4. 04x=2에서의 좌극한은?$\displaystyle f(x)=\begin{cases} 4x & (x<2) \\ x-2 & (x \geq 2) \end{cases}$답닫기

   답$\displaystyle 8$

   풀이

   1. 왼쪽에서 다가가므로 x<2일 때의 식을 써요
   2. $\displaystyle 4 \cdot 2$$\displaystyle = 8$
5. 05x=1에서의 우극한은?$\displaystyle f(x)=\begin{cases} 3x & (x<1) \\ x-2 & (x \geq 1) \end{cases}$답닫기

   답$\displaystyle -1$

   풀이

   1. 오른쪽에서 다가가므로 x≥1일 때의 식을 써요
   2. $\displaystyle 1-2$$\displaystyle = -1$
   3. 왼쪽에서는 다른 식을 써서 3이 돼요
6. 06x=4에서의 좌극한은?$\displaystyle f(x)=\begin{cases} 2x & (x<4) \\ x-1 & (x \geq 4) \end{cases}$답닫기

   답$\displaystyle 8$

   풀이

   1. 왼쪽에서 다가가므로 x<4일 때의 식을 써요
   2. $\displaystyle 2 \cdot 4$$\displaystyle = 8$

자주 묻는 질문

Q1좌극한과 우극한이 같으면 연속인가요?답닫기

A

그것만으로는 부족해요. 극한값이 $f(a)$와도 같아야 해요. 예를 들어 $x\ne 1$에서 $f(x)=x$, $f(1)=3$으로 정한 함수는 좌극한과 우극한이 모두 $1$이지만 $f(1)=3$이므로 $x=1$에서 연속이 아니에요.

Q2$f(a)$는 어느 식으로 계산하나요?답닫기

A

등호가 붙어 있는 쪽의 식이에요. $x\ge a$인 식에 등호가 있으면 그 식에 $x=a$를 대입해요. 이때 우극한과 $f(a)$가 같은 값이 되므로, 좌극한이 그 값과 같은지만 확인하면 돼요.