일차 근사식

$x=a$ 근처에서 곡선 $y=f(x)$는 점 $(a,\ f(a))$에서의 접선과 거의 겹쳐요. 이 접선의 식으로 값을 어림하는 것이 일차 근사예요.

예를 들어 $f(x)=\sqrt{x}$, $a=4$, $h=0.1$이면 $f'(4)=\frac{1}{4}$이므로 $\sqrt{4.1}\approx 2+\frac{1}{4}\cdot 0.1=2.025$예요(실제 값은 $2.0248\cdots$). $x$로 쓰면 $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$이고, 이것은 접선의 방정식 그 자체예요.

예제

1. 01증가량 f(4+h) − f(4)를 어림하면?$\displaystyle f(x)=x^{3}, \quad x=4$답닫기

   답$\displaystyle 48h$

   풀이

   1. 증가량은 기울기 × h예요
   2. $\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = 3x^{2}$$\displaystyle f'(4)$$\displaystyle = 48$
   3. 따라서
   4. $\displaystyle f(4+h)-f(4)$$\displaystyle \approx 48h$
2. 02일차 근사식 f(3)+f'(3)h에 h=0.1을 대입하면?$\displaystyle f(3)=9, \quad f'(3)=6$답닫기

   답$\displaystyle 9.6$

   풀이

   1. f(3)은 출발점의 높이, f'(3)×0.1은 접선을 따라 올라가는 양이에요
   2. $\displaystyle 9 + 6 \times 0.1$$\displaystyle = 9.6$
3. 03이 점에서의 일차 근사식은?$\displaystyle f(x)=\sqrt{x}, \quad x=1$답닫기

   답$\displaystyle 1+\frac{1}{2}(x-1)$

   풀이

   1. 그 점에서의 값
   2. $\displaystyle \sqrt{1}$$\displaystyle = 1$
   3. 그 점에서의 기울기
   4. $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{1}}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$
   5. 둘 다 접선의 식에 넣어요
   6. $\displaystyle y$$\displaystyle = 1+\frac{1}{2}(x-1)$
4. 04□에 들어갈 것은?$\displaystyle f(a+h) \approx f(a) + \square$답닫기

   답$\displaystyle f'(a)h$

   풀이

   1. 접선 위에서 올라가는 양은 기울기 × 나아간 양이에요
   2. $\displaystyle f(a+h)$$\displaystyle \approx f(a) + f'(a)h$
   3. h가 없으면 얼마나 나아가도 같은 양만큼 올라가게 돼요
5. 05일차 근사식 f(5)+f'(5)h에 h=0.1을 대입하면?$\displaystyle f(5)=25, \quad f'(5)=10$답닫기

   답$\displaystyle 26.0$

   풀이

   1. f(5)는 출발점의 높이, f'(5)×0.1은 접선을 따라 올라가는 양이에요
   2. $\displaystyle 25 + 10 \times 0.1$$\displaystyle = 26.0$
6. 06일차 근사식 f(4)+f'(4)h에 h=0.1을 대입하면?$\displaystyle f(4)=16, \quad f'(4)=8$답닫기

   답$\displaystyle 16.8$

   풀이

   1. f(4)는 출발점의 높이, f'(4)×0.1은 접선을 따라 올라가는 양이에요
   2. $\displaystyle 16 + 8 \times 0.1$$\displaystyle = 16.8$

자주 묻는 질문

Q1얼마나 정확한가요?답닫기

A

$h$가 작을수록 오차가 작고, $h$를 크게 하면 오차도 커져요. 예를 들어 $f(x)=x^2$에서는 $f(a+h)-\{f(a)+f'(a)h\}=h^2$이므로 오차는 $h^2$이에요.

Q2증가량 $f(a+h)-f(a)$만 어림하려면요?답닫기

A

$f(a)$를 이항해서 $f(a+h)-f(a)\approx f'(a)h$로 써요. $f(x)=x^3$, $a=4$이면 $f'(4)=48$이므로 $48h$가 돼요.