점근선

수직 점근선은 분모가 0이 되어 $y\to\pm\infty$가 되는 $x$에 생겨요. $y=\frac{1}{(x-4)(x+2)}$라면 $x=4$와 $x=-2$의 두 개예요.

수평 점근선은 $x\to\pm\infty$일 때의 극한으로 구해요. $y=\frac{4x+5}{x-4}$의 분자와 분모를 $x$로 나누면 $\frac{4+5/x}{1-4/x}\to 4$이므로 $y=4$예요.

예제

1. 01수직 점근선을 모두 구하면?$\displaystyle y=\frac{1}{(x-4)(x+2)}$답닫기

   답$\displaystyle x=4,\ -2$

   풀이

   1. 수직 점근선은 분모 $(x-4)(x+2)$가 0이 되는 곳에 있어요. 곱이 0이 되는 것은 한쪽 인수가 0일 때예요
   2. $\displaystyle x-4 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 4$$\displaystyle x+2 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = -2$
2. 02수평 점근선은?$\displaystyle y=\frac{4x+5}{x-4}$답닫기

   답$\displaystyle y=4$

   풀이

   1. 분자를 (분모의 배수) + (나머지) 꼴로 나타내요
   2. $\displaystyle 4x+5$$\displaystyle = 4(x-4)+21$
   3. 따라서
   4. $\displaystyle \frac{4x+5}{x-4}$$\displaystyle = 4+\frac{21}{x-4}$
   5. x가 커지면 오른쪽 분수는 0으로 가고 $4$만 남아요
3. 03비스듬한 점근선은?$\displaystyle y=\frac{x^{2}+3}{x} = x+\frac{3}{x}$답닫기

   답$\displaystyle y=x$
4. 04수평 점근선은?$\displaystyle y=\frac{5x+1}{x-3}$답닫기

   답$\displaystyle y=5$

   풀이

   1. 분자를 (분모의 배수) + (나머지) 꼴로 나타내요
   2. $\displaystyle 5x+1$$\displaystyle = 5(x-3)+16$
   3. 따라서
   4. $\displaystyle \frac{5x+1}{x-3}$$\displaystyle = 5+\frac{16}{x-3}$
   5. x가 커지면 오른쪽 분수는 0으로 가고 $5$만 남아요
5. 05수직 점근선을 모두 구하면?$\displaystyle y=\frac{1}{(x-1)(x+4)}$답닫기

   답$\displaystyle x=1,\ -4$

   풀이

   1. 수직 점근선은 분모 $(x-1)(x+4)$가 0이 되는 곳에 있어요. 곱이 0이 되는 것은 한쪽 인수가 0일 때예요
   2. $\displaystyle x-1 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 1$$\displaystyle x+4 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = -4$
6. 06수직 점근선을 모두 구하면?$\displaystyle y=\frac{1}{(x-2)(x+3)}$답닫기

   답$\displaystyle x=2,\ -3$

   풀이

   1. 수직 점근선은 분모 $(x-2)(x+3)$가 0이 되는 곳에 있어요. 곱이 0이 되는 것은 한쪽 인수가 0일 때예요
   2. $\displaystyle x-2 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 2$$\displaystyle x+3 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = -3$

자주 묻는 질문

Q1분모가 0이 되는 $x$에는 항상 점근선이 있나요?답닫기

A

꼭 그렇지는 않아요. $y=\frac{x^2-1}{x-1}$은 $x\neq 1$에서 $y=x+1$과 같고, $x=1$에서는 값이 빠져 있을 뿐이에요. 분자도 0이 되면 약분해서 확인해요.

Q2$y=\frac{ax+b}{cx+d}$의 수평 점근선을 바로 구하려면?답닫기

A

$c\neq 0$, $ad-bc\neq 0$일 때 $x$의 계수끼리의 비 $y=\frac{a}{c}$가 수평 점근선이에요. $y=\frac{5x+1}{x-3}$이라면 $y=5$예요.