미적분: 여러 가지 미분법

법선

곡선 위의 점에서 접선에 수직인 직선이 법선이고, f′(a)≠0f'(a)\ne 0일 때 그 기울기는 −1f′(a)-\frac{1}{f'(a)}예요.

y−f(a)=−1f′(a)(x−a)(f′(a)≠0)\begin{gathered} y-f(a) \\[4pt] =-\frac{1}{f'(a)}(x-a)\quad(f'(a)\ne 0) \end{gathered}

서로 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 −1-1이에요. 접선의 기울기가 f′(a)f'(a)이므로 법선의 기울기 mm은 f′(a)⋅m=−1f'(a)\cdot m=-1에서 m=−1f′(a)m=-\frac{1}{f'(a)}이 돼요.

y−f(a)=−1f′(a)(x−a)y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)

예를 들어 y=x2y=x^2의 x=2x=2에서는 f′(2)=4f'(2)=4이므로 법선의 기울기는 −14-\frac{1}{4}이에요. 접선의 기울기의 절댓값이 작을수록 법선의 기울기의 절댓값은 커져요.

예제

  1. 01이 점에서 법선의 기울기는?f′(a)=3\displaystyle f'(a)=3답닫기
    답−13\displaystyle -\frac{1}{3}

    풀이

    1. 수직인 두 직선은 기울기의 곱이 −1이에요
    2. 3×(−13)\displaystyle 3 \times \left(-\frac{1}{3}\right)=−1\displaystyle = -1
    3. 부호를 빠뜨리면 곱이 +1이 돼요
    4. 3×(13)\displaystyle 3 \times \left(\frac{1}{3}\right)=1\displaystyle = 1
  2. 02x=4에서 법선의 기울기는?f′(4)=3\displaystyle f'(4)=3답닫기
    답−13\displaystyle -\frac{1}{3}

    풀이

    1. 수직인 두 직선은 기울기의 곱이 −1이에요
    2. 3×(−13)\displaystyle 3 \times \left(-\frac{1}{3}\right)=−1\displaystyle = -1
  3. 03x=3x=3에서의 법선이에요. □에 알맞은 것은 무엇인가요?y=x2  ⇒  y=□(x−3)+9\displaystyle y=x^{2} \;\Rightarrow\; y = \square(x-3)+9답닫기
    답−16\displaystyle -\frac{1}{6}

    풀이

    1. 먼저 접선의 기울기
    2. y′(3)\displaystyle y'(3)=6\displaystyle = 6
    3. 법선의 기울기는 −1 ÷ 접선의 기울기예요
    4. 6×(−16)\displaystyle 6 \times \left(-\frac{1}{6}\right)=−1\displaystyle = -1
  4. 04이 점에서 법선의 기울기는?f′(a)=5\displaystyle f'(a)=5답닫기
    답−15\displaystyle -\frac{1}{5}

    풀이

    1. 수직인 두 직선은 기울기의 곱이 −1이에요
    2. 5×(−15)\displaystyle 5 \times \left(-\frac{1}{5}\right)=−1\displaystyle = -1
    3. 부호를 빠뜨리면 곱이 +1이 돼요
    4. 5×(15)\displaystyle 5 \times \left(\frac{1}{5}\right)=1\displaystyle = 1
  5. 05이 점에서 법선의 기울기는?f′(a)=4\displaystyle f'(a)=4답닫기
    답−14\displaystyle -\frac{1}{4}

    풀이

    1. 수직인 두 직선은 기울기의 곱이 −1이에요
    2. 4×(−14)\displaystyle 4 \times \left(-\frac{1}{4}\right)=−1\displaystyle = -1
    3. 부호를 빠뜨리면 곱이 +1이 돼요
    4. 4×(14)\displaystyle 4 \times \left(\frac{1}{4}\right)=1\displaystyle = 1
  6. 06이 점에서 법선의 기울기는?f′(a)=−2\displaystyle f'(a)=-2답닫기
    답12\displaystyle \frac{1}{2}

    풀이

    1. 수직인 두 직선은 기울기의 곱이 −1이에요
    2. −2×(12)\displaystyle -2 \times \left(\frac{1}{2}\right)=−1\displaystyle = -1
    3. 부호를 빠뜨리면 곱이 +1이 돼요
    4. −2×(−12)\displaystyle -2 \times \left(-\frac{1}{2}\right)=1\displaystyle = 1

자주 묻는 질문

Q1f′(a)=0f'(a)=0이면 법선은 어떻게 되나요?답닫기
A
접선이 xx축에 평행한 직선 y=f(a)y=f(a)가 되므로 법선은 yy축에 평행한 직선 x=ax=a예요. 기울기가 정해지지 않으므로 −1f′(a)-\frac{1}{f'(a)} 공식은 쓸 수 없어요.
Q2부호만 바꾸거나 역수만 취하면 안 되나요?답닫기
A
둘 다 해야 해요. f′(a)=−2f'(a)=-2이면 역수 −12-\frac{1}{2}의 부호를 바꾼 12\frac{1}{2}이 법선의 기울기예요.

공개 2026-10-14 · 최종 수정 2026-10-14